由此可見(jiàn)，數(shù)實(shí)際上是各種邏輯關(guān)系的集中體現(xiàn)。在數(shù)的里面，既有對(duì)應(yīng)關(guān)系，又有序列關(guān)系和包含關(guān)系。兒童要掌握數(shù)，必須具備一定的邏輯觀念。

　　一、幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理邏輯準(zhǔn)備皮亞杰認(rèn)為，兒童具有邏輯，且兒童的邏輯包含兩個(gè)層面，即動(dòng)作的層面和抽象的層面。他對(duì)兒童邏輯的心理學(xué)研究還進(jìn)一步揭示，兒童具有基本的心理邏輯結(jié)構(gòu)，如對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)、序列結(jié)構(gòu)和類包含結(jié)構(gòu)等。這些動(dòng)作層面的邏輯結(jié)構(gòu)不僅使兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有了良好的心理準(zhǔn)備，而且在兒童通過(guò)反省抽象而獲得各種邏輯數(shù)理知識(shí)的同時(shí)(皮亞杰稱之為同化過(guò)程)，也在不斷變化和發(fā)展(皮亞杰稱之為順應(yīng)過(guò)程)，并最終形成抽象層面的邏輯結(jié)構(gòu)。

　　(一)一一對(duì)應(yīng)觀念幼兒的一一對(duì)應(yīng)觀念形成于小班中期(3歲半以后)。起初，他們可能只是在對(duì)應(yīng)的操作中感受到一種秩序，并沒(méi)有將其作為比較兩組物體數(shù)目多少的辦法。逐漸地，他們發(fā)現(xiàn)過(guò)去僅靠直覺(jué)判斷多少是不可靠的，有的時(shí)候，物體所占的地方大，數(shù)目卻不一定多。而通過(guò)一一對(duì)應(yīng)來(lái)比較多少會(huì)更加可靠一些。在小班末期，有的兒童S建立較牢固的一一對(duì)應(yīng)的觀念。比如在4只"小雞"和4條"小蟲(chóng)"的排序活動(dòng)中，其中既有交替排序，又有對(duì)應(yīng)排序。教師問(wèn)一個(gè)幼兒小雞有多少，他通過(guò)點(diǎn)數(shù)說(shuō)出有4只；再問(wèn)小蟲(chóng)(和小雞對(duì)應(yīng))有多少，他一口就能報(bào)出有4條。說(shuō)明幼兒此時(shí)已非常相信通過(guò)對(duì)應(yīng)的方法確定等量的可靠性。

　　但是，能不能說(shuō)幼兒此時(shí)的頭腦中一一對(duì)應(yīng)的邏輯觀念已經(jīng)發(fā)展完善了呢?皮亞杰用一個(gè)有趣的"放珠子"實(shí)驗(yàn)作出了相反的回答。

　　實(shí)驗(yàn)者向幼兒呈現(xiàn)兩只盒子，一只盛有許多珠子，另一只是空盒子。讓幼兒往空盒子里放珠子，并問(wèn)幼兒如果一直放下去，兩只盒子里的珠子會(huì)不會(huì)一樣多，幼兒不能確認(rèn)。當(dāng)問(wèn)如果一直放下去會(huì)怎樣呢?

　　他說(shuō)會(huì)比前面盒子里的珠子多了，而不知道肯定在其放珠子的過(guò)程中會(huì)有一個(gè)相等的時(shí)候�？梢�(jiàn)幼兒在沒(méi)有具體的形象作支持時(shí)，是不可能在頭腦中將兩個(gè)盒子里的珠子作一一對(duì)應(yīng)的。

　　(二)序列觀念序列觀念是兒童理解數(shù)序所必需的邏輯觀念。兒童對(duì)數(shù)序的認(rèn)識(shí)最初來(lái)源于對(duì)"唱數(shù)"的記憶，但對(duì)數(shù)序的真正認(rèn)識(shí)，不是靠記憶，而是靠他對(duì)數(shù)列中數(shù)與數(shù)之間的相對(duì)關(guān)系(數(shù)差關(guān)系和順序關(guān)系)的協(xié)調(diào)：每一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)多一，比后一個(gè)數(shù)少一。這種序列不能通過(guò)簡(jiǎn)單的比較得到，而是有賴于在無(wú)數(shù)次的比較之間建立一種傳遞性的關(guān)系。因此，這是一種邏輯觀念，而不僅僅是直覺(jué)或感知。那么，幼兒的序列觀念是怎樣建立和發(fā)展起來(lái)的呢?

　　我們可以觀察到，小班幼兒在用小棍完成長(zhǎng)短排序的任務(wù)時(shí)，如果小棍的數(shù)量多于5個(gè)，他們是有困難的。說(shuō)明幼兒這時(shí)盡管面對(duì)操作材料，也難以協(xié)調(diào)這么多的動(dòng)作。中班以后，幼兒逐漸能夠完成這個(gè)任務(wù)，而且他們完成任務(wù)的策略也是逐漸進(jìn)步的。起先，他們是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題的，每一次成功背后都有無(wú)數(shù)次錯(cuò)誤的嘗試。到了后一階，幼兒開(kāi)始能夠運(yùn)用邏輯解決問(wèn)題。他每次找一根最短(或引長(zhǎng))的棍，依次往下排。因?yàn)樗�知道，他每次拿的最�?最長(zhǎng))的小棍必定比前面所有的長(zhǎng)(短)，同時(shí)必定比后面所有的短(長(zhǎng))。這就說(shuō)明幼兒此時(shí)已具備了序列的觀念。但是，這種序列觀念只是在具體事物面前有效。如果脫離了具體形象，即使只有三個(gè)物體，幼兒也很難排出它們的序列。一個(gè)典型的例子就是："小紅的歲數(shù)比小明大，小亮的歲數(shù)比小紅大。他們?nèi)齻�(gè)人，誰(shuí)的歲數(shù)最大?"幼兒對(duì)這個(gè)問(wèn)題是感到非常困難的。這也正表明，幼兒的序列邏輯觀念還沒(méi)有真正發(fā)展完善。

　　(三)類包含觀念在幼兒數(shù)數(shù)時(shí)，我們時(shí)常能看到這樣的情況：他能點(diǎn)數(shù)物體，卻說(shuō)不出總數(shù)。即使有的兒童知道最后一個(gè)數(shù)就是總數(shù)(比如數(shù)到8就是8個(gè))，也未必真正理解總數(shù)的實(shí)際意義。如果我們要求他"拿8個(gè)物體給我"，他很可能就把第8個(gè)拿過(guò)來(lái)。這說(shuō)明此時(shí)兒童還處在羅列個(gè)體的階段，沒(méi)有形成整體和部分之間的包含關(guān)系。兒童要真正理解數(shù)的實(shí)際意義，就應(yīng)該知道數(shù)表示的是一個(gè)總體，它包含了其中的所有個(gè)體。如8就包含了8個(gè)1；同時(shí)，每一個(gè)較小的數(shù)，都被它后面的較大的數(shù)所包含。只有理解了數(shù)的包含關(guān)系，兒童才可能學(xué)習(xí)數(shù)的組成和加減運(yùn)算。